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Veröffentlicht am 2014-10-29 11:14:50 in /w/

/w/ 14910: Zufällige Tensoren

chatyrko Avatar
chatyrko:#14910

Liebe /w/,

wie kann man nachweisen, dass ein zufälliger Tensor von Rang n in Summe mit einem zufälligen Tensor von Rang 1 ein Tensor von Rang n+1 ist? Unter Rang versteht man hier den generischen Rang. Der hinterlgete Körper ist komplexe Zahlen C.

Ich habe leider keine vernünftige Literatur zu zufälligen Tensoren gefunden. Könnte /w/ mir zumindestens Richtung geben?

judzhin_miles Avatar
judzhin_miles:#14911

Meine Güte, poste lieber gleich die Aufgabenstellung in der Orginalsprache anstelle solch eines Kauderwelsches.

Wenn ich die Aufgaebnstellung richtig verstehe ist es doch aber eigentlich relativ trivial, du musst zeigen dass die Summe der Tensoren
a.) n+1 Vektoren entgegennimmt
b.) multilinear
ist. Beide Eigenschaften folgen leicht aus der Definition der Summe auf der Tensoralgebra und der Multilinearität der ursprünglichen Tensoren.

clementc Avatar
clementc:#14912

>>14911
> Aufgabenstellung in der Orginalsprache
Habe leider nicht:(

> Wenn ich die Aufgaebnstellung richtig verstehe ist es doch aber eigentlich relativ trivial
Wozu sind sie dann zufällig? Sonst ist die Aufgabe offensichtlich trivial.

greenbes Avatar
greenbes:#14913

was ist denn mit "zufällig" gemeint?

und was ist die summe von zwei tensoren unterschiedlichen ranges? meinten sie: äußeres produkt?

mr_arcadio Avatar
mr_arcadio:#14914

Ok, ich dachte mit "zufällig" war einfach eine unglückliche Formulierung von "beliebig" gemeint aber das ist hier offensichtlich nicht der Fall.

Wie dem auch sei, ich habe nochmal etwas recherchiert und rausgefunden, dass ich die Aufgabe wohl total falsch verstanden habe, da ich das Wort Rang falsch interpretiert hatte. Ich hatte gedacht hier wird über Tensoren im Sinne vom Tensor des Typs (r,s) gesprochen, also im wesentlichen multilineare Abbildungen. Hier wird jedoch über den allgemeineren Fall geredet, wo man Tensoren mithilfe der universellen Eigenschaft charakterisiert.
Der Tensorrang ist dann die minimale Anzahl von reinen (pure) Tensoren die benötigt werden, um den Tensor als Summe reiner Tensoren darzustellen. In dieser Arbeit: http://liu.diva-portal.org/smash/get/diva2:551672/FULLTEXT01.pdf wird dann der generische Rang folgendermaßen definiert (zumindest wenn man über C arbeitet): "For tensors over C the situation is similar; a random tensor will have a certain rank with probability one - this rank is called the generic rank."

Und da wird es dann schwierig für mich, da ich davon nicht wirklich Ahnung habe. Sind wir denn jetzt zumindst von den Definitionen her auf dem gleichen Dampfer? Deine Muttersprache ist aber nicht Deutsch OP, oder? In welchem Kontext ist die Frage denn aufgekommen, die Aufgabe wird doch nicht in dieser komischen Formulierung vom Himmel gefallen sein.
>Der hinterlgete Körper ist komplexe Zahlen C

Zumindest eines kann ich aber denke ich sagen: falls die Dimension des Tensorraums nur n beträgt ist die Aussage falsch.

Falls dim > n muss man vielleicht zeigen, dass die Menge der Tensoren, für die der Rang nicht n+1 wird (und solche gibt es sicher, z.B. wenn der Rang n Tensor dargestellt als Summe aus reinen Tensoren bereits den Rang 1 Tensor enthält) eine Menge mit W-Maß null ist. Aber wie gesagt, ich bewege mich hier auf ganz dünnem Eis, von Stochastik hab ich praktisch keine Ahnung.

>>14913
In dem von mir hier dargelegten Kontext ist der Raum der Tensoren ein Vektorraum und somit sollte es klar sein was die Summe ist.

carlyson Avatar
carlyson:#14915

>>14914>>14914
Hmm, noch mehr Verwirrung: nach dem von mir verlinkten pdf müssten doch eigentlich zwei zufällige Tensoren aus dem selben Tensorraum (selber Raum damit Summe Sinn macht) den gleichen generischen Rang haben? Hoffentlich meldet sich ein Bernd mit mehr Ahnung.

joemdesign Avatar
joemdesign:#14916

>>14915
OP hier. Ja Deutsch ist nicht meine Muttersprache. Tut mir leid.

Wie gesagt, die originale Aufgabenstellung habe ich nicht. Außerdem konnte ich fast null Info zu zufälligen tensoren finden (übrigens danke für diese Masterarbeit). Ich denke an Tensoren > im Sinne vom Tensor des Typs (r,s)
Was in der Aufgabe steht ist für mich ungewohnt.

Ich glaube, die Informationen sind doch ausreichend. Ich kann es mir so vorstellen: wenn im Tensor mit Rang n, grob gesprochen, ein reiner Tensor entsteht, welcher linear abhängig von dem zweiten Tensor in der Aufgabestellung ist, dann hat der resultierende Tensor ja Rang n.

Also man wähle eine Basis und betrachte die Tensoren in Komponenten... Wisst ihr schon, was ich meine? Die Wahrscheinlichkeit, eine exakte Zahl aus einer dichten Menge auszuwählewn, ist null, da das Maß eines Punktes, einer finiten Menge von Punkten sowie einer abzählbaren Menge null ist.

Dann ist es FAST SICHER (p=1), dass die Summe von Tensoren einen generischen Rang n+1 besitzt.

Denke ich in richtiger Richtung? Bin auf die Idee gestern abend gekommen löl

peterlandt Avatar
peterlandt:#14917

>>14916
Hallo, ich schreibe hier nur solange sich nicht jemand mit mehr Ahnung meldet, alles ohne Garantie.

Könntest du wenigstens sagen in welchem Kontext du auf diese Aufgabe gestoßen bist. Definitionen sind selten immer exakt gleich.

>im Sinne vom Tensor des Typs (r,s)
Hier ist es wohl sinnvoller über Tensoren chrakterisiert durch die universelle Eigenschaft zu reden.

>Also man wähle eine Basis und betrachte die Tensoren in Komponenten
Das Problem der Basiswahl ist, dass die Anzahl der Koeffizienten der Entwicklung in der Basis in der Regel nicht mit dem Tensorrang (Tensorrang im Sinne von Beitrag >>14914) übereinstimmt, da man die Zerlegung mit weniger reinen Tensoren machen kann, wie z.B. bei der Schmidt-Zerlegung.

Das mit der dichten Menge geht in die Richtung die ich mit
>eine Menge mit W-Maß null ist
vorgeschlagen hätte.

Wie gesagt mein Problem ist, dass wenn wirklich _beide_ Tensoren zufällige sind laut dem pdf dann eigentlich auch beide den selben Rang haben müssten. Ich verstünde es eher wenn die Aufgabe lauten würde: Ein Tensor a mit Tensorrang 1 und ein zufälliger Tensor b des generischen Ranges n seien gegeben, zeige rg(a+b) = n+1.

karalek Avatar
karalek:#14918

>>14917
> Ein Tensor a mit Tensorrang 1 und ein zufälliger Tensor b des generischen Ranges n seien gegeben, zeige rg(a+b) = n+1
Richtig. Das meinte ich.

> die Anzahl der Koeffizienten der Entwicklung in der Basis in der Regel nicht mit dem Tensorrang (Tensorrang im Sinne von Beitrag >>14914) übereinstimmt
Es ist doch egal, würde ich denken. Ich habe einen reinen Tensor als ein endliches Tensorprodukt in der Form:
T = v1 (+) v2 (+) ... (+) vk (+) w1 (+) w2 (+) ... (+) wl
wobei vi (+) vj das Tensorprodukt der Vektoren vi und vj ist. Die w-s sind bzw. Kovektoren.

In Komponenten gilt:

n1, n2...
T = v1(m1) * v2(m2) * ... * w1(n1) * w2(n2) * ...
m1, m2 ..

Wenn ich reine Tensoren summiere, summiere ich einfach diese Komponenten.

Ein Tensor mit Rang r ist wie folgt definiert:

R = sum(i=1...r) Ti,

wobei Ti, i=1..r reine Tensoren sind.

Also:

R + T hat dann und nur dann Rang r+1, wenn T linear unabhängig von Ti, i=1...r ist. D.h. T <> lambda*Ti für ein lambda in C und ein i in 1...r.

Beispiel: Matrizen v (+) w = M. Lineare Abhängigkeit: N = lambda*M genau so, wie für Vektoren.

Nachweis: http://math.stackexchange.com/questions/448350/how-to-tell-if-matrices-are-linearly-independent

Deswegen berechnet man die Wahrscheinlichkeit, dass T=lambda*Ti für ein lambda in C und ein i in 1...r MIT gegebener Basis, so dass man die Komponenten bekommt. (ohne das in Komponenten zu betrachten, macht die Aufgabe für much keinen Sinn). Diese ist gleich null.

krdesigndotit Avatar
krdesigndotit:#14919

>>14918
Scheiße Formatierung hat nicht geklappt:

T (oben: n1, n2... ; unten: m1, m2 ...) = v1(m1) * v2(m2) * ... * w1(n1) * w2(n2) * ...

raquelwilson Avatar
raquelwilson:#14921

Noch Ideen /w/?

aleclarsoniv Avatar
aleclarsoniv:#14924

>>14918
Ja das geht nicht. Einfach lineare Unabhängigkteit reicht nicht zu.

herrhaase Avatar
herrhaase:#14933

Sind alle gestorben hier?

syswarren Avatar
syswarren:#14942

>>14933

Chemikerbernd hat davon keine Ahnung..

likewings Avatar
likewings:#14986

Ein Bump in Hoffnung, daß jemand (ins Besondere >>14914) noch Ideen hat.

jimmywebdev Avatar
jimmywebdev:#15021

>>14933
Ich beschäftige mich lieber mit richtiger Wissenschaft.

BrianPurkiss Avatar
BrianPurkiss:#15022

>>15021
Das ist ja geradezu beeindruckend! Bist du ein echter Wisschenschaftler? Wow. Bernadette ist schon ganz feucht. Was machst du denn so?

arnel_lenteria Avatar
arnel_lenteria:#15034

>>15021
Pleb erkannt

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