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Veröffentlicht am 2014-02-06 11:27:28 in /w/

/w/ 14243: Bernd steht gerade auf dem Schlauch. Sei N(m, s...

albertodebo Avatar
albertodebo:#14243

Bernd steht gerade auf dem Schlauch.

Sei N(m, s) eine Normalverteilung mit Erwartungswert m und Varianz sqrt(s). Was ist der Erwartungswert von max{ N(m_1, s_1), N(m_2, s_2) } ?

Ich bin gerade echt nicht fähig das zu vereinfachen.

sementiy Avatar
sementiy:#14244

Wenn Bernd versucht das Problem verständlich zu erklären, kommt er vielleicht auch selbst drauf.

xspirits Avatar
xspirits:#14248

>>14244
Was war daran denn unverständlich? Jetzt fühlt sich Bernd nicht nur dumm, sondern ist auch noch verwirrt.

trickyolddog Avatar
trickyolddog:#14271

Nicht sicher, ob es ein guter Ansatz ist, aber du kannst die Maximumsfunktion als 1/2 * (x1 + x2 + |x1 + x2|) schreiben, so über die Verteilung max{ N(m_1, s_1), N(m_2, s_2) } integrieren und den Erwartungswert herausfinden. Das ging glaube ich mit ∫x*f(x)dx

Bernd Avatar
Bernd:#14305

Man beachte, dass P(max(X,Y) <= x) = P(X <= x /\ Y <= x) und wenn stochastische Unabhängigkeit gegeben ist P(X<=x)*P(Y<=x). Der Rest ist Rechnen.

(alternativ könntest auch in die Definition des Erwartungswertes einsetzen und
https://en.wikipedia.org/wiki/Law_of_the_unconscious_statistician
anwenden, dann ein paar Umformungen und du hast das Ergebnis)

adhiardana Avatar
adhiardana:#14327

OP, bist du dir sicher, dass das überhaupt so ohne Weiteres möglich ist? Bernd hat beginnend bei >>14305 keinen Weg gefunden, der nicht über unnatürlich komplizierte Integrale geht.

Übrigens wird die Varianz üblicherweise mit s^2 bezeichnet. s = sqrt(s^2) ist die Standardabweichung

marciotoledo Avatar
marciotoledo:#14328

>>14327
Auf dem bisherigen kann man den Erwartungswert anwenden, E(P(X<=x)*P(Y<=x)) = E(P(X<=x))*E(Y<=x)) wegen stochastischer Unabhängigkeit, was auch Unkorreliertheit impliziert. Damit ist der Erwartungswert des Maximums von den beiden m1*m2. Das basiert natürlich alles darauf, dass die beiden Verteilungen unabhängig voneinander sind, was nicht im Text von OP steht. Addiert man die Kovarianz drauf hat man aber den Korrekturterm für korrelierte Ereignisse drin.

joeymurdah Avatar
joeymurdah:#14329

>Damit ist der Erwartungswert des Maximums von den beiden m1*m2

das halte ich für blödsinn, das skaliert nicht richtig.

denn das bedeutet ja, wenn ich eine verteilung um m=100 habe, dass ich erwarte dass der größere von zwei unabhängig gezogenen werten im mittel 10000 ist? selbst, wenn die standardabweichung gegen null geht? Neee, der erwartungswert skaliert doch bitte linear mit (m_1,m_2).

meisso_jarno Avatar
meisso_jarno:#14330

>>14328
>E(P(X<=x)*P(Y<=x)) = E(P(X<=x))*E(Y<=x))
Huch? Sowas hat Bernd noch nie gesehen. Kann natürlich richtig sein, wäre mir aber neu.

Rein rechnerisch:
F_X(x) und F_Y(y) sind die CDF von X bzw. Y. Sei Z=max{X,Y}, dann ist F_Z(z) = F_X(z)*F_Y(z) (Unabhängigkeit vorausgesetzt). Der Erwartungswert ist nun:
E[Z] = integral über (1-F_Z(z)) dz

Im Bild einige Auswertungen davon. Mittelwerte in rot, Standardabweichungen in blau. Kann da leider kein einheitliches Muster erkennen.

vocino Avatar
vocino:#14331

>>14330
Seien X und Y zwei beliebige Zufallsvariablen, dann ist Var(X+Y) = Var(X)+Var(Y)-2*(E(X*Y)-E(X)E(Y)). Der hintere Term entspricht der Kovarianz, die 0 bei unkorrelierten Zufallsvariablen ist. Somit wäre für unseren Fall Cov(X,Y) = 0 = E(XY)-E(X)E(Y) <=> E(XY)=E(X)E(Y). Bei korrelierten Ereignissen käme man halt auf E(XY) = E(X)E(Y)+Cov(X,Y).

>>14329
Ja, da hab ich mich auch gewundert. Im Gegensatz zu anderen scheinbaren Paradoxien sehe ich da auch keinen Sinn dahinter, die Mathematik dahinter sollte aber passen.

millinet Avatar
millinet:#14332

>>14331
>Bei korrelierten Ereignissen käme man halt auf E(XY) = E(X)E(Y)+Cov(X,Y).
Schon klar, aber hier ist E[max{X,Y}] gesucht, nicht E[XY]. Das sind zwei verschiedene Dinge.

Was ich mit "noch nie gesehen" meinte, war ein Ausdruck der Form E[Pr(X<=x)]. Pr(X<=x) ist ja keine Zufallsgröße, dieser Erwartungswert ist nicht das, was OP sucht.

mshwery Avatar
mshwery:#14333

>>14332
>Schon klar, aber hier ist E[max{X,Y}] gesucht, nicht E[XY]. Das sind zwei verschiedene Dinge.
Ja, und hier könnte das Problem liegen. Ich kann mich nur dunkel an die Begründung für >>14305 erinnern. Das mit P(X<=x) ist nur eine andere Schreibweise für Zufallsvariablen.

karsh Avatar
karsh:#14339

So, nun Bernds zweiter Versuch, denn >>14330 kann einfach nicht stimmen. Allein schon deshalb, weil das Integral nur über positive Werte von z geht.

Stattdessen zwei alternative Versuche: Nr. 1 nützt die Tatsache aus, dass -- wie im Faden schon mehrfach beschrieben -- die CDF von Z=max{X,Y} gleich dem Produkt der CDF von X und Y ist.
Nr. 2 geht über die gemeinsame Verteilung von X und Y und die Maximums-Funktion.

Bei beiden kommt tatsächlich das Gleiche raus, aber ob das nun richtig ist, kann Bernd noch immer nicht sagen.